PHÒNG GD&ĐT HẢI LĂNG
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN
NĂM HỌC 2018-2019
Môn: Toán
Thời gian làm bài: 120 phút



Bài 1 (4 điểm): Giải phương trình: (x2 + 1)2 + 3x(x2 + 1) + 2x2 = 0
Bài 2 (4 điểm): Cho biểu thức P =

a) Rút gọn P.
b) Tính giá trị của P khi

Bài 3 (4 điểm): Một đoàn học sinh đi cắm trại bằng ô tô. Nếu mỗi ô tô chở 22 người thì còn thừa một người. Nếu bớt đi một ô tô thì có thể phân phối đều tất cả các học sinh lên các ô tô còn lại. Hỏi có bao nhiêu học sinh đi cắm trại và có bao nhiêu ô tô ? Biết rằng mỗi ô tô chỉ chở không quá 30 người.
Bài 4 (4 điểm): Cho hình vuông ABCD, M ( đương chéo AC. Gọi E,F theo thứ tự là hình chiếu của M trên AD, CD. Chứng minh rằng:
a) BM ( EF
b) Các đường thẳng BM, EF, CE đồng quy.
Bài 5 (4 điểm): Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
A = x2 + 2y2 + 2xy - 2x - 6y + 2018
---- Hết ----
Lưu ý : Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.

Họ và tên thí sinh: ……….……….……….……….……….……….………. Số BD: ……….

HƯỚNG DẨN CHẤM THI HSG VÒNG 1
MÔN TOÁN (2018-2019)
Bài 1 (4 điểm): (x2 + 1)2 + 3x(x2 + 1) + 2x2 = 0 (1)
Đặt x2 + 1 = y thì
PT (1)
y2 + 3xy + 2x2 = 0
(y2 + xy) + (2xy + 2x2) = 0
(y + x)(y + 2x) = 0
*) x + y = 0
x2 + x + 1 = 0 vô nghiệm.
**) y + 2x = 0
x2 + 2x + 1 = 0
(x + 1)2 = 0
x = - 1
Phương trình đã cho có nghiệm x = - 1
Bài 2 (4 điểm): P =

a) Rút gọn (2 điểm):
P =
(a ≥0)
=

=

=

b) Tính giá trị của P (2 điểm):
Ta có: a = 19 - 8
= 16 - 2.4
+ 3
= (4 -
)2
=> P =
+ 1 = 4 -
+ 1 = 5 -

Bài 3 (4 điểm):
+ Gọi số ô tô lúc đầu là
(
nguyên và
)
Số học sinh đi cắm trại là: 22x + 1.
+ Theo giả thiết: Nếu số xe là
thì số học sinh phân phối đều cho tất cả các xe, mỗi xe chở số học sinh là y (y là số nguyên và 0 < y ( 30).
+ Do đó ta có phương trình:

+ Vì x và y đều là số nguyên dương, nên
phải là ước số của 23.
Mà
nên:
hoặc

Nếu
thì
(trái giả thiết)
Nếu
thì
(thỏa điều kiện bài toán).
+ Vậy số ô tô là 24 và tổng số học sinh đi cắm trại là
học sinh.
Bài 4 (4 điểm): Mỗi câu 2 điểm.
a) Gọi K là giao điểm CB với EM;
H là giao điểm của EF và BM.
Trong ( EMH và (BKM có góc MBK = góc MEF
(vì
( MEF =(MBK c.g.c.); góc EMH = góc BMK M
( Góc MHE = góc MKB ( BH ( EF H
b) ( ADF = (BAE (c.g.c.) ( góc DAF = góc ABE
( AF ( BE
Tương tự: CE ( BF ( BM; AF; CE
là các đường cao của (BEF ( đpcm
Bài 5 (4 điểm): A = x2 + 2y2 + 2xy - 2x - 6y + 2018
Ta có: x2 + 2y2 + 2xy - 2x - 6y + 2018 = (x + y - 1)2 + (y - 2)2 + 2013
Vì (y-2)2
0 và (x+y-1)2
0 với mọi x,y nên A
2013 với mọi x, y.
Suy ra MinA = 2013 khi x = -1, y = 2.

(Thí sinh giải cách khác đúng vẩn đạt điểm tối đa).